연습장:삼쩌모/7

삼쩌모의 연습장
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개요

하제크 논리학(décuteli)은 하제크의 적(蹟) 개념을 주장과 주장 사이의 관계에 적용한 논리 체계이다. 주장이 참인지 거짓인지를 직접 다루지 않고, 주장이 무엇을 근거로 성립하는지와 그 근거를 철회하였을 때 주장이 유지되는지를 다룬다.

어떤 주장도 근거 없이 스스로 성립하지 않는다고 보며, 모든 논증은 근거를 더 제시하지 않는 지점을 스스로 명시하여야 한다.

체계는 네 부분과 세 가지 확장으로 이루어진다.

• 딛음: 주장의 형식만으로 정해지는 근거와 결론의 관계
• 법과 저단: 논의마다 따로 받아들이는 일반 규칙
• 논증: 근거, 저단, 결론을 갖춘 하나의 논증이 갖추어야 할 요건
• 판정: 받아들인 것 전체에 비추어 각 주장이 놓이는 상태
• 술어와 양화: 대상, 성질, 관계를 나누어 적는 확장
• 함수와 수: 대상에서 대상을 만드는 함수와, 수에 대한 귀납을 더한 확장
• 성질의 양화: 성질 자체에 대하여 주장하는 확장

이 밖에 절차를 줄이는 간소화의 방법, 자주 쓰이는 상용 정리, 판정에 대하여 말하는 주장을 다루는 인용과 판정의 층, 체계 안에서 제기된 난제와 그 해결, 고전 논리의 역설에 대한 처리를 다루고, 끝에 체계의 한계를 적는다.

기본 개념

적

주장(býctiti) $B$가 주장 $A$를 뒷받침할(décuicuï) 때, $A$는 $B$를 딛는다(décuï)고 하고 $B$를 $A$의 적(蹟, décutec) 또는 근거(décunaue)라 한다. 딛는다는 것은 의존한다는 뜻이다. 이 말에는 두 가지 물음이 들어 있다. 근거 전체가 결론을 얻기에 충분한가는 딛음으로, 낱낱의 근거가 결론에 없어서는 안 되는가는 지주의 필수와 분담으로 나누어 정의한다.

한정

적은 언제나 ‘무엇으로서’라는 한정을 수반한다. 같은 두 주장이라도 한정이 다르면 적의 방향이 달라질 수 있다.

가장 널리 쓰이는 한정은 지적(知蹟)과 존적(存蹟)의 구분이다.

• 지적은 한 주장을 알게 되는 데 다른 주장이 필요한 관계이다. 인식의 순서에 따른 의존이다.
• 존적은 한 주장이 말하는 일이 성립하는 데 다른 주장이 말하는 일이 필요한 관계이다. 사실의 순서에 따른 의존이며, 인과 관계가 대표적이다.

‘두레박줄이 젖어 있다’와 ‘이 우물은 쓰인다’를 예로 들면, 우물이 쓰인다는 것은 줄이 젖어 있음을 보고 알게 되므로 지적으로는 후자가 전자를 딛는다. 줄이 젖는 일은 우물이 쓰이기 때문에 일어나므로 존적으로는 전자가 후자를 딛는다.

논리학이 다루는 것은 지적이다. 따로 명시하지 않는 한 이 문서에서 ‘딛는다’는 지적을 가리킨다.

언어

더 나눌 수 없는 주장을 원자 주장이라 하고 $p,q,r$ 따위로 적는다. 주장은 원자 주장에 다음 세 가지 결합을 거듭 적용하여 만든다.

• 부정(否定) $\mathrm{\neg }A$: $A$가 아니다
• 연언(連言) $A\wedge B$: $A$이고 $B$이다
• 선언(選言) $A\vee B$: $A$이거나 $B$이다

$A,B,C$는 임의의 주장을, $\Gamma ,\Sigma$는 주장의 유한한 집합(rótabini)을 나타낸다.

이 문서의 기호는 설명을 위하여 고전 논리의 것을 빌린 것이다.

경우와 값

두 표

주장에는 서로 독립된 두 가지 표가 붙을 수 있다.

• 입표(立標): 그 주장을 지지하는 근거가 있다. 입표가 붙은 주장은 ‘지지된다’고 한다.
• 함표(陷標): 그 주장을 반박하는 근거가 있다. 함표가 붙은 주장은 ‘반박된다’(déctini)고 한다.

두 표는 서로를 배제하지 않는다. 한 주장에 둘 다 붙을 수도 있고 둘 다 붙지 않을 수도 있다. 따라서 주장의 값은 네 가지이다.

• 입(立): 입표만 있다. 지지만 있는 것이다.
• 함(陷): 함표만 있다. 반박만 있는 것이다.
• 쌍(雙): 입표와 함표가 모두 있다. 지지와 반박이 함께 있는 것이다.
• 공(空): 입표도 함표도 없다. 지지도 반박도 없는 것이다.

모든 원자 주장에 값을 하나씩 정한 것을 경우(énceci)라 한다. 경우는 실제의 상태가 아니라 딛음을 검사하기 위하여 상정하는 것이다.

결합의 값

복합 주장의 표는 그 부분의 표로 정해진다.

• $\mathrm{\neg }A$: $A$에 함표가 있으면 입표가 붙고, $A$에 입표가 있으면 함표가 붙는다.
• $A\wedge B$: $A$와 $B$ 모두에 입표가 있으면 입표가 붙고, 하나에라도 함표가 있으면 함표가 붙는다.
• $A\vee B$: $A$와 $B$ 가운데 하나에라도 입표가 있으면 입표가 붙고, 모두에 함표가 있으면 함표가 붙는다.

이를 값으로 적으면 다음과 같다.

부정

$A$	$\mathrm{\neg }A$
입	함
함	입
쌍	쌍
공	공

연언 $A\wedge B$

$A$＼$B$	입	함	쌍	공
입	입	함	쌍	공
함	함	함	함	함
쌍	쌍	함	쌍	함
공	공	함	함	공

선언 $A\vee B$

$A$＼$B$	입	함	쌍	공
입	입	입	입	입
함	입	함	쌍	공
쌍	입	쌍	쌍	입
공	입	공	입	공

딛음

딛음의 정의

$\Gamma$의 주장이 모두 지지되는 경우마다 $A$도 지지될 때, $A$는 $\Gamma$를 딛는다고 하고 $\Gamma \models A$로 적는다. 이 관계를 딛음(décuini)이라 하며, 흔히 말하는 귀결에 해당한다.

$\Gamma$의 주장이 모두 지지되는데 $A$가 지지되지 않는 경우를 반례(反例, aneicnámeli)라 한다. $\Gamma \models A$는 반례가 없다는 것과 같다.

성립하는 딛음

• 연언의 분해: $A\wedge B\models A$, $A\wedge B\models B$
• 연언의 결합: $A,B\models A\wedge B$
• 선언의 확장: $A\models A\vee B$, $B\models A\vee B$
• 이중 부정: $A\models \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A$, $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\models A$
• 부정의 분배: $\mathrm{\neg }(A\wedge B)\models \mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B$, $\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B\models \mathrm{\neg }(A\wedge B)$, $\mathrm{\neg }(A\vee B)\models \mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$, $\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B\models \mathrm{\neg }(A\vee B)$
• 분배: $A\wedge (B\vee C)\models (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$, $(A\wedge B)\vee (A\wedge C)\models A\wedge (B\vee C)$

성립하지 않는 딛음

• 배중(排中): 아무 근거 없이 $A\vee \mathrm{\neg }A$가 성립하지는 않는다. $A$가 공인 경우가 반례이다.
• 폭발(爆發): $A,\mathrm{\neg }A\models B$는 성립하지 않는다. $A$가 쌍이고 $B$가 공인 경우가 반례이다.
• 소거(消去): $A\vee B,\mathrm{\neg }A\models B$는 성립하지 않는다. $A$가 쌍이고 $B$가 공인 경우가 반례이다.

소거가 성립하지 않으므로, 선택지 가운데 하나를 반박하는 것만으로는 나머지가 지지되지 않는다. 반박된 선택지에 지지도 함께 있을 수 있기 때문이다.

추론 규칙

딛음은 경우를 모두 검토하지 않고 다음 규칙을 거듭 적용하여 보일 수도 있다. ‘$⟹$’의 왼쪽이 있으면 오른쪽을 적을 수 있다는 뜻이다.

• 연언 도입: $A,B⟹A\wedge B$
• 연언 제거: $A\wedge B⟹A$, $A\wedge B⟹B$
• 선언 도입: $A⟹A\vee B$, $B⟹A\vee B$
• 선언 제거: $A\vee B$가 있고, $A$를 가정하여 $C$를 도출하였으며, $B$를 가정하여 $C$를 도출하였다 $⟹C$
• 이중 부정: $A⟹\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A$, $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A⟹A$
• 부정 분배: $\mathrm{\neg }(A\wedge B)⟹\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B$, $\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B⟹\mathrm{\neg }(A\wedge B)$, $\mathrm{\neg }(A\vee B)⟹\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$, $\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B⟹\mathrm{\neg }(A\vee B)$

이 규칙들은 건전하고 완전하다. 곧 $\Gamma$에서 규칙만으로 $A$를 도출할 수 있다는 것과 $\Gamma \models A$는 같다.

선언 제거는 가정을 지우지만, 지워지는 가정은 이미 있는 선언의 두 쪽을 나눈 것이다. 가정을 조건으로 바꾸어 결론에 남기는 규칙, 곧 조건 증명이 없으므로 근거 없이 도출되는 주장은 없다.

기본 정리

• 무자립 정리(無自立定理): 근거 없이 성립하는 주장은 없다. 곧 $\Gamma$가 비어 있으면 어떤 $A$에 대해서도 $\Gamma \models A$가 성립하지 않는다. 모든 원자 주장이 공인 경우에는 모든 주장이 공이 되기 때문이다.
• 공유 정리(共有定理): $\Gamma \models A$이면 $\Gamma$와 $A$는 적어도 하나의 원자 주장을 함께 가진다. 함께 가지는 원자 주장이 없다면, $\Gamma$의 원자 주장을 모두 쌍으로, $A$의 원자 주장을 모두 공으로 둔 경우가 반례가 된다.
• 대우 정리(對偶定理): $\Gamma \models A$는 다음과 같다. ‘$A$가 반박되는 경우마다 $\Gamma$의 주장 가운데 적어도 하나가 반박된다.’ 곧 딛음은 입표를 근거에서 결론으로 전달하고, 함표를 결론에서 근거로 전달한다.
• 이행 정리(移行定理): $\Sigma$의 주장이 저마다 $\Gamma$를 딛고 $A$가 $\Sigma$를 디디면, $A$는 $\Gamma$를 딛는다. 곧 $\Gamma \models A$이다.
• 결정 가능성: 원자 주장이 $n$개이면 경우는 $4^n$개이다. 이를 모두 검토하면 $\Gamma \models A$인지를 언제나 판정할 수 있다. 술어와 양화를 추가한 체계에 대해서는 판정 가능성에서 다룬다.

딛음은 근거를 추가하여도 유지된다. $\Gamma \models A$이면 $\Gamma$에 어떤 주장을 추가하여도 $A$는 그것을 딛는다. 필요하지 않은 근거를 금하는 것은 딛음의 성질이 아니라 논증의 요건이다.

법과 저단

법

법(法, córnialati)은 ‘$A_1,\dots ,A_n$이 지지되면 $B$가 지지된다’는 일반 규칙이다. 왼쪽을 전건, 오른쪽을 후건이라 한다. 전건은 비어 있을 수 없다. 법에는 두 가지가 있다.

• 양방향 법(兩方向法) $A_1,\dots ,A_n\Rightarrow B$: 지지를 전건에서 후건으로 옮기고, 반박을 후건에서 전건으로 옮긴다.
• 일방 법(一方法) $A_1,\dots ,A_n\rightharpoonup B$: 지지를 전건에서 후건으로 옮기기만 한다.

따로 밝히지 않으면 법은 양방향 법을 가리킨다. 후건이 반박되었을 때 전건까지 반박된 것으로 볼 수 없는 규칙은 일방 법으로 둔다. 본 것으로부터 미루어 아는 것을 적은 규칙이 그 예이다.

법은 주장이 아니다. 주장의 형식만으로는 정해지지 않는 연결을 논의에 도입하기 위하여 따로 받아들이는 것이다.

조건을 주장의 결합으로 두지 않는 까닭은 둘이다. 조건을 $\mathrm{\neg }A\vee B$로 적으면, 소거가 성립하지 않으므로 $A$와 $\mathrm{\neg }A\vee B$에서 $B$를 얻지 못한다. 조건 증명을 갖춘 결합을 새로 두면 ‘$A$이면 $A$이다’가 근거 없이 성립하게 되어 무자립 정리에 어긋난다(중법 문제 참조).

법은 지적을 적은 것이다. $A\Rightarrow B$는 $A$가 지지되면 $B$가 지지된다는 것을 말할 뿐, $A$의 일이 $B$의 일의 원인이라고 말하지 않는다.

준수

어떤 경우가 양방향 법 $A_1,\dots ,A_n\Rightarrow B$를 준수한다는 것은 다음 둘을 모두 만족한다는 뜻이다. 일방 법은 첫째 조건만을 만족하면 준수하는 것이다.

1. $A_1,\dots ,A_n$이 모두 지지되면 $B$가 지지된다.
2. $B$가 반박되면 $A_1,\dots ,A_n$ 가운데 적어도 하나가 반박된다.

둘째 조건은 대우 정리가 딛음에 대해 말하는 것을 법에도 요구한 것이다. 이 조건을 받아들일지는 법마다 정한다.

저단 아래의 딛음

논증이 쓰는 법의 집합을 저단(底段)이라 하고 $\Delta$로 적는다. 저단에는 법 외에 대상의 한정, 수의 한정, 확정, 성질 표현의 허용과 같이 검토할 경우의 범위를 정하는 한정 사항도 함께 명시한다. 준수와 관련은 법에 대해서만 따진다.

$\Delta$의 법을 모두 준수하는 경우 가운데 반례가 없을 때, $A$는 $\Delta$ 아래에서 $\Gamma$를 딛는다고 하고 $\Gamma {\models }_{\Delta }A$로 적는다.

추론 규칙에는 다음 둘이 추가된다.

• 법의 적용: 양방향 법 $A_1,\dots ,A_n\Rightarrow B$나 일방 법 $A_1,\dots ,A_n\rightharpoonup B$가 $\Delta$에 있으면, $A_1,\dots ,A_n⟹B$
• 대우의 적용: 양방향 법 $A_1,\dots ,A_n\Rightarrow B$가 $\Delta$에 있으면, $\mathrm{\neg }B⟹\mathrm{\neg }{A}_1\vee \cdots \vee \mathrm{\neg }{A}_n$

두 규칙을 추가한 추론 규칙도 $\Gamma {\models }_{\Delta }A$에 대하여 건전하고 완전하다. 무자립 정리와 이행 정리는 $\Delta$ 아래에서도 그대로 성립한다. 대우 정리는 $\Delta$의 법이 모두 양방향 법일 때 성립한다.

법의 도출

$B_1,\dots ,B_n{\models }_{{\Delta }^{\prime }}C$이면 일방 법 $B_1,\dots ,B_n\rightharpoonup C$는 ${\Delta }^{\prime }$에서 도출된다고 한다. 여기에 더하여 $\mathrm{\neg }C{\models }_{{\Delta }^{\prime }}\mathrm{\neg }{B}_1\vee \cdots \vee \mathrm{\neg }{B}_n$도 성립하면 양방향 법 $B_1,\dots ,B_n\Rightarrow C$가 도출된다. ${\Delta }^{\prime }$의 법이 모두 양방향 법이면 둘째는 대우 정리에 따라 첫째에서 나온다.

교체 정리(交替定理): 어떤 논증이 쓰는 법이 ${\Delta }^{\prime }$에서 도출되면, 그 법을 ${\Delta }^{\prime }$의 법들로 바꾸어도 논증은 성립한다.

저단을 더 깊은 저단으로 바꾸는 일은 이 정리에 따른다.

소거를 법으로 두는 경우

소거가 필요한 논의에서는 $A\vee B,\mathrm{\neg }A\Rightarrow B$를 법으로 저단에 명시해 둔다.

이 법을 둔 저단 아래에서는 $A,\mathrm{\neg }A$로부터 $B$가 도출된다. 따라서 그러한 저단을 쓰는 논의는 받아들인 주장들 사이에 상충이 없어야 한다. 한 곳의 상충이 이 법이 미치는 주장 전체로 퍼지기 때문이다. 주장마다 따로 고전 논리의 방법을 쓰려면 확정을 쓴다.

논증

논증의 정의

논증(buctitcuádilici)은 $⟨\Gamma ,\Delta ,A⟩$의 세 요소로 이루어진다. $\Gamma$는 근거의 집합, $\Delta$는 저단, $A$는 결론이다. 다음 두 요건을 갖추어야 한다.

• 성립: $\Gamma {\models }_{\Delta }A$
• 관련: $\Gamma$의 근거와 $\Delta$의 법은 저마다 어떤 지주에 속한다. 곧 결론에 아무 구실도 하지 않는 근거나 법이 없다.

무자립 정리에 따라 $\Gamma$는 비어 있을 수 없다. 근거는 분해의 원칙에 따라 연언을 분해하여 낱낱으로 둔다.

사단

논증은 네 단으로 적으며 이를 사단(四段)이라 한다. 위에서 아래로 적는다.

• 입단(立段): 결론. 형식에서의 $A$이다.
• 적단(蹟段): 근거. 형식에서의 $\Gamma$이다.
• 함단(陷段): 검증. $\Gamma {\models }_{\Delta }A$임을 보이는 부분이다.
• 저단(底段): 기본 전제. 형식에서의 $\Delta$이다.

지주

$\Gamma$의 일부 ${\Gamma }^{\prime }$과 $\Delta$의 일부 ${\Delta }^{\prime }$이 ${\Gamma }^{\prime }{\models }_{{\Delta }^{\prime }}A$를 만족하고, 여기에서 근거나 법을 하나라도 제외하면 성립하지 않을 때, ${\Gamma }^{\prime }$과 ${\Delta }^{\prime }$의 묶음을 $A$의 지주(支柱)라 한다. 지주는 결론을 떠받치기에 충분하면서 남는 것이 없는 근거와 법의 묶음이다. 한 논증에 지주가 여럿 있을 수 있다.

근거와 법은 지주에 따라 셋으로 나뉜다.

• 필수(必須): 모든 지주에 속한다.
• 분담(分擔): 일부 지주에만 속한다.
• 무관(無關): 어느 지주에도 속하지 않는다.

필수 정리(必須定理): 어떤 근거나 법이 필수라는 것은, 그것 하나를 제외하면 논증이 성립하지 않는다는 것과 같다.

지주가 하나뿐인 논증을 단주 논증(單柱論證), 둘 이상인 논증을 복주 논증(複柱論證)이라 한다. 단주 논증에서는 모든 근거와 법이 필수이다. 관련의 요건은 무관한 근거나 법이 없다는 것이다.

논증이 성립하지 않게 되려면 제외하여야 하는 근거와 법의 최소 개수를 그 논증의 견고도(堅固度)라 한다. 단주 논증의 견고도는 1이다. 판정에서는 바탕의 기본 주장과 법에 대하여 같은 뜻으로 지주를 말한다.

가함

가함(假陷, déctincuini)은 어떤 주장을 철회하였다고 가정하고, 그에 따라 무엇이 성립하지 않게 되는지를 검토하는 절차이다. 일종의 사고 실험이다. 두 요건의 검사에 쓰인다.

1. 성립의 검사: 결론을 철회하였다고, 곧 $A$가 지지되지 않는다고 가정한다. 저단을 준수하는 모든 경우에서 근거 가운데 적어도 하나가 지지되지 않게 되면 반례가 없는 것이다.
2. 관련의 검사: 근거나 법을 하나 제외하고 성립의 검사를 다시 한다. 통과하지 못하면 제외한 것은 필수이다. 통과하면 분담이거나 무관이며, 어느 쪽인지는 지주를 구하여 가린다.

함단에는 성립의 검사를 적거나, 추론 규칙에 따른 도출을 적는다.

논증의 예

$w$를 ‘두레박줄이 젖어 있다’, $t$를 ‘줄이 물에 닿았다’, $u$를 ‘이 우물은 지금도 쓰인다’라 하자.

• 입단: $u$
• 적단: $w$
• 함단: $w$에 법의 적용을 두 번 하여 $t,u$를 차례로 도출한다.
• 저단: $w\rightharpoonup t$, $t\rightharpoonup u$

저단에서 $t\rightharpoonup u$를 제외하면 $w$가 입, $t$가 입, $u$가 공인 경우가 반례가 된다. 이 경우는 $w\rightharpoonup t$를 준수하면서 $u$가 지지되지 않는다. 이 논증은 단주 논증이며, 근거 $w$와 두 법이 모두 필수이다. 두 법은 본 것으로부터 미루어 아는 규칙이므로 일방 법으로 두었다. 양방향 법으로 두면 $\mathrm{\neg }u$로부터 $\mathrm{\neg }w$가 도출된다.

약식

사단은 다음과 같이 줄여 적는다. 이를 약식(略式)이라 한다.

• 입단과 적단은 딛음의 꼴 한 줄로 적는다.
• 저단의 법에는 번호를 붙인다.
• 함단은 $⟹$로 이어 적는다. $⟹$ 위의 숫자는 그 번호의 법의 적용을, 줄을 그은 숫자는 그 법에 대한 대우의 적용을 나타낸다.
• 숫자가 없는 $⟹$는 연언 도입, 연언 제거, 선언 도입, 이중 부정, 부정 분배, 양화 부정, 전칭 제거, 존재 도입을 한 번 또는 여러 번 쓴 것이다. 이 규칙들은 이름을 적지 않는다.
• 가정은 대괄호에 넣는다. $[a:A(a)]$는 새 이름 $a$에 대하여 $A(a)$를 가정한다는 뜻이다. 가정을 지우는 규칙은 줄 끝의 괄호에 적으며, 선언 제거는 ∨제, 존재 제거는 ∃제로 줄인다.
• 전칭 도입, 전칭의 분배, 귀납, 상용 정리는 줄 끝의 괄호에 이름을 적는다.
• 도출이 길면 줄을 나누고, 앞 줄에서 얻은 것은 다음 줄에서 그대로 쓴다.

논증의 예의 논증은 약식으로 다음과 같다.

• 논증: $w{\models }_{\Delta }u$
• 저단: 1. $w\rightharpoonup t$, 2. $t\rightharpoonup u$
• 함단: $w\stackrel{1}{⟹}t\stackrel{2}{⟹}u$

조건 논증

결론이 주장이 아니라 법인 논증을 조건 논증(條件論證)이라 한다. 일방 법을 결론으로 하는 조건 논증 $⟨\Gamma ,\Delta ,B\rightharpoonup C⟩$는 $\Gamma ,B{\models }_{\Delta }C$일 때 성립한다. 양방향 법을 결론으로 하는 조건 논증 $⟨\Gamma ,\Delta ,B\Rightarrow C⟩$는 여기에 더하여 $\Gamma ,\mathrm{\neg }C{\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }B$일 때 성립한다.

조건 논증이 성립하면, $\Delta$를 준수하고 $\Gamma$가 모두 지지되는 경우는 언제나 결론의 법을 준수한다. $\Gamma$가 비어 있을 때 조건 논증은 법의 도출과 같다.

판정

바탕

논의의 당사자들이 논증 없이 함께 받아들인 것, 곧 공통 전제를 바탕(lacuádilici)이라 한다. 바탕은 기본 주장의 집합 $P$와 법의 집합 $R$로 이루어진다. 기본 주장은 근거 없이 성립하는 주장이 아니다. 그 논의에서 근거를 묻지 않기로 한 주장이다.

기본 주장은 연언을 분해하여 낱낱으로 둔다. 이를 분해의 원칙이라 한다. $A\wedge B$를 하나의 기본 주장으로 두면 $A$만 다투어질 때에도 $B$가 함께 다투어지기 때문이다.

법 가운데 논의에서 다투지 않기로 한 것을 고정법(固定法)이라 한다. 같음의 법과 입표 술어의 법은 고정법으로 둔다. 고정법과 저단의 한정 사항은 언제나 적용되며 상충의 원인으로 따지지 않는다. 아래에서 법이라 하면 고정법이 아닌 법을 가리킨다.

상충

기본 주장의 일부 $\Sigma$와 법의 일부 $\Delta$에 대하여, $\Sigma$가 모두 지지되고 $\Delta$가 준수되는 경우마다 값이 쌍인 원자 주장이 있으면, $\Sigma$와 $\Delta$의 묶음은 상충(相衝, uícuoncini)한다고 한다. 곧 지지와 반박을 함께 받는 주장 없이는 함께 받아들일 수 없는 묶음이다.

명시 상충 정리(明示相衝定理): $\Sigma {\models }_{\Delta }A$이면서 $\Sigma {\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }A$인 주장 $A$가 있으면 $\Sigma$와 $\Delta$의 묶음은 상충한다. 역은 성립하지 않는다. $p\vee q$, $\mathrm{\neg }p\vee q$, $p\vee \mathrm{\neg }q$, $\mathrm{\neg }p\vee \mathrm{\neg }q$의 넷은 상충하지만, 넷이 함께 딛는 주장 가운데 그 부정까지 함께 딛는 것은 없다.

상충하는 묶음 가운데 기본 주장이나 법을 하나라도 제외하면 상충하지 않게 되는 것을 최소 상충이라 한다. 어느 최소 상충에도 속하지 않는 기본 주장과 법을 다툼 없는 바탕이라 하고 $P^{\circ }$, $R^{\circ }$로 적는다. 최소 상충에 속한 법은 다투어지는 법이다.

상충하지 않는 묶음 가운데 기본 주장이나 법을 하나라도 추가하면 상충하게 되는 것을 극대 바탕(極大)이라 한다. 바탕 전체가 상충하지 않으면 극대 바탕은 바탕 전체 하나이다. 다툼 없는 바탕은 모든 극대 바탕에 공통으로 속하는 부분과 같다.

네 상태

주장의 상태는 극대 바탕에 비추어 다음과 같이 판정한다. 극대 바탕이 딛는다는 것은 그 기본 주장을 근거로, 그 법을 저단으로 하여 딛는다는 뜻이다.

• 입언(立言, déntylati): 입증된 주장. 모든 극대 바탕이 $A$를 딛는 경우이다.
• 함언(陷言, býctiti déctinice): 반박된 주장. 모든 극대 바탕이 $\mathrm{\neg }A$를 딛는 경우이다.
• 쟁언(爭言): 다투어지는 주장. 위의 둘이 아니며, 어떤 극대 바탕이 $A$를 딛거나 $\mathrm{\neg }A$를 딛는 경우이다.
• 부언(浮言, býctiti biuóiaico): 근거 없는 주장. 어느 극대 바탕도 $A$나 $\mathrm{\neg }A$를 딛지 않는 경우이다.

쟁언은 상충하지 않는 근거에 선 논증이나 반박이 있기는 하나, 그것이 모든 극대 바탕에서 유지되지는 않는 주장이다. 상충하는 근거에서만 도출되는 주장은 쟁언이 아니라 부언이다. 쟁언과 부언은 논증의 근거로 쓸 수 없다.

상태는 경우의 값과 다르다. 값은 딛음을 검사하려고 상정하는 것이고, 상태는 실제의 바탕에 대한 판정이다.

판정의 성질

• 입언이면서 함언인 주장은 없다.
• $A$가 입언이면 $\mathrm{\neg }A$는 함언이고, $A$가 함언이면 $\mathrm{\neg }A$는 입언이다. $A$가 쟁언이면 $\mathrm{\neg }A$도 쟁언이다.
• 다툼 없는 바탕이 딛는 주장은 입언이다. 역은 성립하지 않는다. 기본 주장이 $p,\mathrm{\neg }p$이고 법이 $p\Rightarrow q$, $\mathrm{\neg }p\Rightarrow q$이면, $q$는 어느 극대 바탕에서도 논증되므로 입언이다.
• 입언들을 다툼 없는 법 아래에서 딛는 주장은 입언이다.
• 어떤 주장이 함언이 아니라는 것으로부터 그 주장이 입언이라고 할 수 없다.

판정의 예

기본 주장이 $p,\mathrm{\neg }p,r$이고 법이 $p\Rightarrow q$, $r\Rightarrow s$인 바탕을 생각하자. 최소 상충은 $p$와 $\mathrm{\neg }p$의 묶음 하나이다. 극대 바탕은 $p$를 남긴 것과 $\mathrm{\neg }p$를 남긴 것의 둘이며, 둘 다 $r$과 두 법을 포함한다.

• $p,\mathrm{\neg }p$: 쟁언. 한 극대 바탕은 $p$를, 다른 극대 바탕은 $\mathrm{\neg }p$를 딛는다.
• $q$: 쟁언. $p$를 남긴 극대 바탕에서만 논증된다.
• $r,s$: 입언. 두 극대 바탕에서 모두 논증된다.
• $\mathrm{\neg }s$: 함언. $s$가 입언이다.
• $r\wedge s,q\vee s$: 입언. 입언을 딛는다.
• $q\wedge s$: 쟁언. $q$가 쟁언이다.
• 바탕에 등장하지 않는 $t$: 부언. 논증도 반박도 없다.

법이 다투어지는 예로, 기본 주장이 $p,\mathrm{\neg }q$이고 법이 $p\Rightarrow q$인 바탕을 생각하자. 셋의 묶음이 최소 상충이고, 극대 바탕은 셋 가운데 하나씩을 제외한 셋이다. $p$와 $q$는 쟁언이고, 법 $p\Rightarrow q$는 다투어지는 법이다. 반례가 제시되면 사례만이 아니라 법도 함께 다투어진다.

상태의 변화

상태는 바탕이 바뀔 때에만 바뀐다. 바탕에서 무엇을 제외하거나 추가하면 상태를 처음부터 다시 판정한다.

• 입언이던 주장은, 그 지주 가운데 하나가 새 바탕에서도 상충하지 않는 한 함언이 되지 않는다. 입언에 머물거나 쟁언이 된다.
• 함언이던 주장도 같다. 그 부정의 지주 가운데 하나가 상충하지 않는 한 입언이 되지 않는다.

경우에 의한 판정

극대 바탕에 의한 판정은 바탕을 적는 방식에 따라 달라질 수 있다. 분해의 원칙은 연언에 대해서만 이를 막는다. 적는 방식에 의존하지 않는 판정으로 다음을 함께 쓴다.

바탕의 기본 주장을 모두 지지하고 법을 모두 준수하는 경우 가운데, 값이 쌍인 원자 주장을 더 줄일 수 없는 것을 최소 쌍 경우라 한다. 주장의 경우 판정은 모든 최소 쌍 경우에서의 값으로 정한다. 어느 최소 쌍 경우에서나 입이면 입, 어느 경우에서나 함이면 함, 어느 경우에서나 쌍이면 쌍이고, 그 밖에는 미정이다.

경우 판정은 바탕을 지지하는 경우만으로 정해지므로, 같은 경우에서 지지되는 두 바탕은 같은 경우 판정을 낸다. 그 대신 다투어지는 근거에서 나온 결론을 가려내지 못한다. 판정의 예의 바탕에서 $p$의 경우 판정은 쌍이고 $q$의 경우 판정은 입이다. 극대 바탕에 의한 판정에서는 $q$가 다투어지는 $p$를 딛으므로 쟁언이다. 경우 판정은 어느 기본 주장이나 법이 다투어지는지도 말하지 않는다.

따라서 주된 판정은 극대 바탕에 의한 것으로 하고, 경우 판정은 바탕을 고쳐 적었을 때 결과가 달라지는지를 확인하는 데 쓴다.

술어와 양화

앞의 체계는 원자 주장의 내부 구조를 다루지 않는다. 대상과 성질, 관계를 나누어 적으려면 술어와 양화를 추가한다.

언어의 확장

• 이름(γýcictiti): 대상 하나를 가리킨다. $a,b,c$로 적는다.
• 변수: 정해지지 않은 대상을 나타낸다. $x,y,z$로 적는다.
• 술어(述語): 대상의 성질이나 대상 사이의 관계를 나타낸다. 술어가 받는 대상의 수를 항(項)이라 하며, 1항인 것부터 3항인 것까지 있다. $P(a),R(a,b)$와 같이 적는다.
• 전칭 양화 $\mathrm{\forall }xA$: 모든 대상 $x$에 대하여 $A$이다.
• 존재 양화 $\mathrm{\exists }xA$: 어떤 대상 $x$에 대하여 $A$이다.

술어의 항에 이름을 대입한 것이 원자 주장이다. 술어가 3항까지인 것은 차샤의 동사가 1가, 2가, 3가이기 때문이다.

술어와 양화의 경우

술어와 양화를 다룰 때 경우는 다음 셋으로 이루어진다.

• 대상의 집합. 비어 있지 않아야 한다.
• 이름마다 그것이 가리키는 대상.
• 술어마다 입역(立域)과 함역(陷域). 입역은 그 술어에 입표가 붙는 대상의 집합이고, 함역은 함표가 붙는 대상의 집합이다. 2항 이상의 술어에서는 대상의 순서쌍이나 삼중쌍의 집합이다.

입역과 함역은 서로 독립이다. 한 대상이 양쪽에 모두 속할 수도 있고 어느 쪽에도 속하지 않을 수도 있다.

표는 다음과 같이 붙는다.

• $P(a)$: $a$가 가리키는 대상이 $P$의 입역에 속하면 입표가, 함역에 속하면 함표가 붙는다.
• $\mathrm{\forall }xA$: 모든 대상에서 $A$에 입표가 붙으면 입표가 붙고, 어느 한 대상에서라도 $A$에 함표가 붙으면 함표가 붙는다.
• $\mathrm{\exists }xA$: 어느 한 대상에서라도 $A$에 입표가 붙으면 입표가 붙고, 모든 대상에서 $A$에 함표가 붙으면 함표가 붙는다.

딛음의 정의는 그대로이다. $\Gamma$의 주장이 모두 지지되는 경우마다 $A$도 지지될 때 $\Gamma \models A$이다.

양화의 딛음

성립하는 것은 다음과 같다.

• 전칭의 적용: $\mathrm{\forall }xA(x)\models A(a)$
• 존재의 도입: $A(a)\models \mathrm{\exists }xA(x)$
• 전칭에서 존재로: $\mathrm{\forall }xA(x)\models \mathrm{\exists }xA(x)$
• 양화의 부정: $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xA\models \mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }A$, $\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }A\models \mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xA$, $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xA\models \mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }A$, $\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }A\models \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xA$
• 전칭과 연언: $\mathrm{\forall }x(A\wedge B)\models \mathrm{\forall }xA\wedge \mathrm{\forall }xB$, $\mathrm{\forall }xA\wedge \mathrm{\forall }xB\models \mathrm{\forall }x(A\wedge B)$
• 존재와 선언: $\mathrm{\exists }x(A\vee B)\models \mathrm{\exists }xA\vee \mathrm{\exists }xB$, $\mathrm{\exists }xA\vee \mathrm{\exists }xB\models \mathrm{\exists }x(A\vee B)$
• 양화의 순서: $\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }yR(x,y)\models \mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }xR(x,y)$

성립하지 않는 것은 다음과 같다.

• $\mathrm{\forall }y\mathrm{\exists }xR(x,y)\models \mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }yR(x,y)$는 성립하지 않는다. 대상마다 상대가 있다는 것으로부터 모두에게 공통된 상대가 있다는 것은 도출되지 않는다.
• 아무 근거 없이 $\mathrm{\forall }x(P(x)\vee \mathrm{\neg }P(x))$가 성립하지는 않는다.
• $\mathrm{\forall }x(P(x)\vee Q(x)),\mathrm{\neg }P(a)\models Q(a)$는 성립하지 않는다. 소거가 성립하지 않는 것과 같다.

양화의 추론 규칙

• 전칭 제거: $\mathrm{\forall }xA(x)⟹A(a)$. $a$는 어떤 이름이어도 된다.
• 전칭 도입: 근거, 가정, 저단 어디에도 등장하지 않는 이름 $a$에 대하여 $A(a)$를 도출하였다 $⟹\mathrm{\forall }xA(x)$
• 존재 도입: $A(a)⟹\mathrm{\exists }xA(x)$
• 존재 제거: $\mathrm{\exists }xA(x)$가 있고, 근거, 가정, 저단 어디에도 등장하지 않는 이름 $a$에 대하여 $A(a)$를 가정하여 $C$를 도출하였으며, $C$에 $a$가 등장하지 않는다 $⟹C$
• 양화 부정: $\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xA⟹\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }A$, $\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }A⟹\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }xA$, $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xA⟹\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }A$, $\mathrm{\forall }x\mathrm{\neg }A⟹\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }xA$
• 전칭의 분배: $\mathrm{\forall }x(A\vee B(x))⟹A\vee \mathrm{\forall }xB(x)$. $A$에 $x$가 나오지 않아야 한다.

전칭의 분배는 다른 규칙에서 도출되지 않으므로 따로 둔다. 앞의 규칙에 이 규칙들을 추가한 것도 건전하고 완전하다. 무자립 정리, 대우 정리, 이행 정리도 그대로 성립한다. 공유 정리는 ‘$\Gamma \models A$이면 $\Gamma$와 $A$는 적어도 하나의 술어를 함께 가진다’로 바뀐다.

법과 양화

법에는 변수를 쓸 수 있다. $P(x)\Rightarrow Q(x)$는 변수에 어떤 대상을 대입하여도 준수되어야 하는 법이다.

일반적인 내용은 그 형식에 따라 법 또는 주장으로 적는다.

• ‘모든 $P$는 $Q$이다’는 법 $P(x)\Rightarrow Q(x)$로 적는다.
• ‘어떤 $P$는 $Q$이다’는 주장 $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge Q(x))$로 적는다.
• ‘모든 것은 $P$이다’는 주장 $\mathrm{\forall }xP(x)$로 적는다.
• ‘모든 $P$가 $Q$인 것은 아니다’는 반례가 있다는 주장 $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\neg }Q(x))$로 적는다.
• ‘어떤 $P$도 $Q$가 아니다’는 법 $P(x)\Rightarrow \mathrm{\neg }Q(x)$로도, 주장 $\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge Q(x))$로도 적을 수 있다. 둘은 같지 않다. 앞의 것은 받아들인 규칙이고 뒤의 것은 반박의 주장이다.

법 $P(x)\Rightarrow Q(x)$는 주장 $\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }P(x)\vee Q(x))$와 다르다. 앞의 것은 $P(a)$가 지지되면 $Q(a)$도 지지되게 하지만, 뒤의 것은 소거가 성립하지 않으므로 그렇게 하지 못한다.

법 $P(x)\Rightarrow Q(x)$가 바탕에 있는 채로 $P(a)$와 $\mathrm{\neg }Q(a)$를, 또는 $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\neg }Q(x))$를 기본 주장으로 두면 상충이 생긴다. 이때 법도 그 상충에 속하므로 다투어지는 법이 된다. 법의 도출을 요구하는 이의는 굴저로 제기한다.

법의 전건이나 후건에는 다시 법을 둘 수 없다. 따라서 ‘어떤 대상이 있어 모든 $P$가 그것과 $R$의 관계에 있다’는 하나의 주장으로 적지 못한다. 이때는 그 대상에 새 이름 $a$를 주고, 법 $P(x)\Rightarrow R(x,a)$를 따로 둔다.

같음

같음은 기본 기호가 아니다. ‘$a$는 $a$와 같다’가 근거 없이 성립하면 무자립 정리에 어긋나기 때문이다.

같음은 2항 술어 $E$로 두고, 다음 법을 저단에 명시한다.

• 대칭: $E(x,y)\Rightarrow E(y,x)$
• 추이: $E(x,y),E(y,z)\Rightarrow E(x,z)$
• 대치: $E(x,y),P(x)\Rightarrow P(y)$
• 부정의 대치: $E(x,y),\mathrm{\neg }P(x)\Rightarrow \mathrm{\neg }P(y)$

대치와 부정의 대치는 $E$를 포함한 술어마다, 항마다 하나씩 둔다. 대치만으로는 $E(a,b),\mathrm{\neg }P(a){\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }P(b)$가 성립하지 않는다. 대치의 대우에서 얻는 것은 $\mathrm{\neg }E(b,a)\vee \mathrm{\neg }P(b)$이고, 여기에서 $\mathrm{\neg }P(b)$를 얻으려면 소거가 필요하기 때문이다. 부정의 대치는 이를 메운다.

같음의 치환 정리: 같음의 법 아래에서 $E(a,b)$가 지지되는 경우에는, 어떤 주장 $A(a)$와 그 안의 $a$를 $b$로 바꾼 $A(b)$의 값이 같다. 따라서 $E(a,b),A(a){\models }_{\Delta }A(b)$이다.

전건이 비어 있는 법은 없으므로 ‘모든 것은 자신과 같다’는 법으로 적을 수 없다. 대칭과 추이로부터 도출되는 것은 $E(a,b){\models }_{\Delta }E(a,a)$이다. 곧 어떤 것과 같음이 입증된 대상만이 자신과 같음이 입증된다. $E(a,a)$는 ‘$a$가 있다’는 주장으로 읽는다. 이름을 쓰는 것만으로 그 이름이 가리키는 대상이 있다는 것이 근거 없이 성립하지는 않는다. 대상의 목록을 명시하는 논의에서는 목록의 대상마다 $E(a,a)$를 근거로 둔다.

판정 가능성

• 원자 주장만 쓰는 논의에서는 딛음을 언제나 판정할 수 있다.
• 1항 술어만 쓰는 논의에서도 판정할 수 있다. 술어가 $k$개이면 대상은 $4^k$가지로 나뉘므로 검토할 경우가 유한하다.
• 2항 이상의 술어나 함수를 쓰면 딛음을 판정하는 일반적인 절차가 없다. 성립하는 딛음은 도출을 찾아 확인할 수 있으나, 성립하지 않는 딛음을 언제나 확인해 주는 절차는 없다.
• 저단에 대상의 목록을 명시하여 논의의 대상을 한정하면 다시 판정할 수 있다. 이때 전칭 양화는 목록의 대상에 대한 연언과 같아지고, 존재 양화는 선언과 같아진다. 이를 대상의 한정이라 한다.

판정은 딛음에 더하여 상충이 없음을 확인하여야 하므로 딛음보다 어렵다. 딛음을 판정할 수 있는 위의 경우에는 판정도 할 수 있다. 그러나 2항 이상의 술어나 함수를 쓰는 논의에서는 어떤 주장이 입언임을 확인해 주는 일반적인 절차도 없다.

함수와 수

함수

함수(函數)는 대상에서 대상을 만든다. $f(a)$, $g(a,b)$와 같이 적는다. 이름과 변수에 함수를 거듭 적용하여 만든 것을 대상 표현이라 한다. 대상 표현은 이름이 놓이는 위치에 쓸 수 있으며, 전칭 제거와 존재 도입에서도 이름 대신 쓸 수 있다.

경우에는 함수마다 대상을 대상에 대응시키는 규칙이 추가된다. 같음을 쓰는 논의에서는 함수마다 다음 법을 저단에 추가한다.

• 합동: $E(x,y)\Rightarrow E(f(x),f(y))$

함수를 추가하여도 무자립 정리, 대우 정리, 이행 정리는 그대로 성립한다.

수

수는 이름 $0$과 함수 $s$로 적는다. $s(x)$는 $x$의 다음 수이다. 대상의 목록을 $0,s(0),s(s(0)),\dots$로 명시하는 것을 수의 한정이라 한다. 대상의 한정을 끝이 없는 목록에 적용한 것이다.

수의 한정 아래에서는 다음 규칙이 추가된다.

• 귀납: $\Gamma {\models }_{\Delta }A(0)$이고, $\Gamma$, $\Delta$, $A$ 어디에도 등장하지 않는 이름 $a$에 대하여 $\Gamma ,A(a){\models }_{\Delta }A(s(a))$이면 $\Gamma {\models }_{\Delta }\mathrm{\forall }xA(x)$

목록의 대상은 $0$에 $s$를 유한 번 적용한 것뿐이므로 이 규칙은 건전하다. 수에 대하여 같음을 쓰는 논의에서는 $\mathrm{\forall }xE(x,x)$를 근거로 둔다. 같음의 법만으로는 어떤 수가 자신과 같다는 것이 도출되지 않기 때문이다.

수의 한정 아래에서는 귀납을 추가하여도 추론 규칙이 완전하지 않다. 술어를 모두 확정하고 $\mathrm{\forall }xE(x,x)$를 근거로 두면 딛음이 고전 논리의 산술과 일치하기 때문이다.

수의 증명의 예

덧셈을 2항 함수 $x+y$로 적는다. ‘0에 어떤 수를 더하여도 그 수와 같다’를 증명한다.

• 논증: $\mathrm{\forall }xE(x+0,x),\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }yE(x+s(y),s(x+y)){\models }_{\Delta }\mathrm{\forall }xE(0+x,x)$
• 저단: 수의 한정, 1. 추이 $E(x,y),E(y,z)\Rightarrow E(x,z)$, 2. 합동 $E(x,y)\Rightarrow E(s(x),s(y))$
• 함단
  • 기초: $E(0+0,0)$
  • 단계: $[a:E(0+a,a)]\stackrel{2}{⟹}E(s(0+a),s(a))$
  • $E(0+s(a),s(0+a)),E(s(0+a),s(a))\stackrel{1}{⟹}E(0+s(a),s(a))$ (귀납)

성질의 양화

술어가 놓이는 위치에 변수를 두고 양화하면 성질과 관계 자체에 대하여 주장할 수 있다.

성질의 언어

• 성질 변수 $X,Y$: 술어의 위치에 놓인다. $X(a)$는 ‘$a$가 성질 $X$를 가진다’이다.
• 성질의 양화 $\mathrm{\forall }XA,\mathrm{\exists }XA$: 모든 성질에 대하여, 어떤 성질에 대하여 $A$이다.
• 성질 표현 $[x:A]$: ‘$x$가 $A$인 것’이라는 성질이다. 주장 $A$로부터 성질을 만든다.

성질의 범위

성질(lífilci)은 입역과 함역의 순서쌍이다. 성질을 양화하는 논의에서는 경우에 성질의 범위, 곧 양화의 대상이 되는 성질의 집합이 추가된다.

• $\mathrm{\forall }XA$: 범위의 모든 성질에서 $A$에 입표가 붙으면 입표가 붙고, 어느 한 성질에서라도 함표가 붙으면 함표가 붙는다.
• $\mathrm{\exists }XA$: 범위의 어느 한 성질에서라도 $A$에 입표가 붙으면 입표가 붙고, 모든 성질에서 함표가 붙으면 함표가 붙는다.

성질 표현은 다음 규칙으로 푼다.

• $[x:A](a)⟹A(a)$, $A(a)⟹[x:A](a)$
• $\mathrm{\neg }[x:A](a)⟹\mathrm{\neg }A(a)$, $\mathrm{\neg }A(a)⟹\mathrm{\neg }[x:A](a)$

어떤 성질 표현을 쓸 수 있는지는 저단에 명시한다. 성질의 범위에는 저단이 허용한 성질 표현이 나타내는 성질이 모두 포함되어 있어야 한다.

성질의 양화에는 대상의 양화와 같은 꼴의 추론 규칙을 쓴다. 이름의 위치에는 저단이 허용한 성질 표현을 쓴다. 이 규칙들은 범위를 저단에 명시하는 체계에 대하여 건전하고 완전하다.

층

성질 표현 $[x:A]$의 $A$ 안에서 성질을 양화하면, 정의되는 성질이 자신을 포함한 범위를 딛게 된다. 이를 피하기 위하여 성질에 층(層, pált)을 둔다.

• 0층의 성질은 성질의 양화를 쓰지 않은 주장으로 정의된다.
• $n+1$층의 성질은 $n$층까지의 성질만을 양화한 주장으로 정의된다.
• 성질 변수에는 층이 정해져 있고, 양화는 그 층의 성질만을 범위로 삼는다.

세 입장

성질의 범위를 어떻게 정하는지에 따라 세 입장이 있다.

• 층을 나누는 입장: 성질은 이미 정의된 성질만을 딛는다. 정통의 입장이다.
• 층을 나누지 않는 입장: 성질 표현 안에서 같은 범위의 성질을 양화하는 것을 허용한다. 정의되는 성질이 자신을 포함한 범위를 딛으므로 환적이라는 비판을 받는다. 무자립 정리는 유지된다.
• 전체 범위의 입장: 성질의 범위를 따로 명시하지 않고, 입역과 함역의 순서쌍이면 모두 성질로 본다.

전체 범위에 관한 정리: 전체 범위의 입장에서는 $\mathrm{\exists }XX(a)$가 근거 없이 성립한다. 대상이 하나라도 있으면 그 대상을 입역에 둔 순서쌍이 언제나 있기 때문이다. 따라서 무자립 정리가 성립하지 않는다.

붕괴 정리(崩壞定理): 전체 범위의 입장에서 성질의 양화는 두 성질만으로 정해진다. $\mathrm{\forall }XA$가 지지된다는 것은 입역과 함역이 모두 빈 성질에서 $A$가 지지된다는 것과 같고, 반박된다는 것은 입역과 함역이 모두 대상 전체인 성질에서 $A$가 반박된다는 것과 같다. $\mathrm{\exists }XA$는 그 반대이다. 성질에 지지나 반박을 더하여도 주장이 이미 받은 지지와 반박은 없어지지 않기 때문이다. 그러므로 전체 범위의 양화는 실질적인 내용을 갖지 못한다. 예를 들어 $\mathrm{\forall }X(\mathrm{\neg }X(a)\vee X(b))$는 어떤 경우에도 지지되지 않는다.

범위를 저단에 명시하는 체계에서는 무자립 정리가 유지된다. 모든 원자 주장이 공인 경우에, 성질의 범위가 입역과 함역이 모두 빈 성질 하나뿐이어도 되기 때문이다.

성질을 양화한 법

법에도 성질 변수를 쓸 수 있다. 같음의 대치는 술어마다 하나씩 두는 대신 다음 하나로 적는다.

• $E(x,y),X(x)\Rightarrow X(y)$

간소화

이 체계는 고전 논리보다 절차가 길다. 조건 증명과 귀류법을 그대로 쓸 수 없고, 관련의 검사와 판정에는 딛음을 여러 번 검사하여야 한다. 다음 네 가지 방법으로 절차를 줄인다. 어느 것도 딛음의 정의를 바꾸지 않는다.

보조법

도출된 법을 저단에 추가하여 다시 쓰는 것을 보조법(補助法)이라 한다. 한 번 증명한 결과를 법으로 적어 두고, 다음 논증에서는 법의 적용 한 번으로 쓴다.

보존 정리(保存定理): $\Delta$에서 도출되는 법을 $\Delta$에 추가하여도 $\Delta$ 아래의 딛음은 바뀌지 않는다. $\Delta$를 준수하는 경우는 도출된 법도 준수하기 때문이다. 준수의 조건이 도출의 조건과 같기 때문이다.

고전 논리의 조건 증명은 이 형태로 쓴다. $A$를 근거로 $C$를 도출하였으면 일방 법 $A\rightharpoonup C$를 보조법으로 둔다. 저단의 법이 모두 양방향 법이면 $A\Rightarrow C$로 두어도 된다. 보조법에는 그것이 도출된 저단을 함께 명시한다.

확정

원자 주장 $p$에 대하여 확정 주장(確定主張) $\circ p$를 근거나 기본 주장으로 둘 수 있다. 경우가 $\circ p$를 지지한다는 것은 그 경우에서 $p$의 값이 입이나 함이라는 뜻이다. 술어 $P$에 대한 $\circ P$는 모든 대상에서 $P$의 값이 입이나 함이라는 뜻이다. 확정 주장은 부정하거나 다른 주장과 결합하지 않는다. 확정 주장이 근거에 있는 원자 주장을 확정된 주장이라 한다.

일치 정리(一致定理): 근거와 결론에 나오는 원자 주장이 모두 확정되어 있으면, 딛음은 고전 논리의 귀결과 일치한다. 확정 주장이 모두 지지되는 경우는 고전 논리의 경우와 같기 때문이다.

일부만 확정되어 있으면 고전 논리의 방법은 그 주장에 대해서만 쓸 수 있다. $\circ p\models p\vee \mathrm{\neg }p$이고, $\circ p,p\vee B,\mathrm{\neg }p\models B$이다. 확정되지 않은 주장에는 영향이 없다.

검토할 경우는 확정된 원자 주장이 $n$개일 때 $4^n$개에서 $2^n$개로 줄어든다. 확정 주장은 근거로 명시되므로 무자립 정리는 유지된다. 확정 주장은 논증마다 쓰이지 않더라도 관련의 요건을 어긴 것으로 보지 않는다. 확정된 주장에 대해서는 양방향 법 $A\Rightarrow B$를 준수한다는 것이 $\mathrm{\neg }A\vee B$가 지지된다는 것과 같다.

판정에서 확정 주장은 기본 주장이다. 확정된 주장이 상충에 걸려도 다투어지는 것은 그 주장에 그친다. 기본 주장이 $\circ p,\circ q,p,\mathrm{\neg }p,q$이면 $p$는 쟁언이고 $q$는 입언이다.

단순 바탕

기본 주장이 모두 원자 주장이거나 그 부정이고, 법이 모두 다음 둘 가운데 하나인 바탕을 단순 바탕이라 한다.

• 전건과 후건이 각각 원자 주장 하나이거나 그 부정 하나인 양방향 법
• 전건이 원자 주장이나 그 부정 여럿이고 후건이 원자 주장 하나이거나 그 부정 하나인 일방 법

연쇄 정리(連鎖定理): 단순 바탕에서 원자 주장이나 그 부정이 $\Sigma$를 딛는다는 것은, $\Sigma$의 주장들에서 출발하여 법의 적용과, 양방향 법에 대한 대우의 적용을 거듭하여 그것에 이를 수 있다는 것과 같다.

이 정리로부터 다음이 나온다.

• 묶음이 상충한다는 것은, 연쇄로 어떤 원자 주장과 그 부정에 함께 이를 수 있다는 것과 같다.
• 딛음과 상충은 경우를 검토하지 않고 연쇄만으로 판정한다. 필요한 적용의 횟수는 원자 주장의 수와 법의 수의 곱에 비례한다.
• 복합 주장의 딛음은 연쇄로 얻은 것만을 지지되거나 반박된 것으로 둔 경우 하나에서 값을 계산하여 판정한다.
• 법의 전건이 모두 하나이면, 최소 상충에 속하는 기본 주장은 하나 또는 둘이다.

판정의 절차

판정은 다음 순서로 한다.

1. 바탕을 구역(區域)으로 나눈다. 구역은 원자 주장이나 술어를 직접 또는 다른 것을 거쳐 함께 가지는 기본 주장과 법을 묶은 것이다.
2. 판정할 주장과 원자 주장이나 술어를 함께 가지는 구역만을 고른다.
3. 고른 구역이 상충하는지를 검사한다. 값이 쌍인 원자 주장이 없는 경우 가운데 기본 주장이 모두 지지되고 법이 모두 준수되는 것이 하나라도 있으면 상충하지 않는다. 상충하지 않으면 극대 바탕은 그 구역 전체 하나이므로, 상태는 딛음의 검사만으로 정해진다.
4. 상충하는 경우에만 그 구역 안에서 최소 상충을 구한다. 극대 바탕은 최소 상충마다 적어도 하나씩을 제외하되, 제외한 것을 더 줄일 수 없게 하여 얻는다.

국소 정리(局所定理): 주장의 상태는 그 주장과 원자 주장이나 술어를 함께 가지는 구역만으로 정해진다. 최소 상충은 언제나 한 구역 안에 있고, 다른 구역의 주장은 그 주장의 딛음에 영향을 주지 않기 때문이다.

따라서 바탕의 한 곳에서 상충이 생겨도 다시 판정할 것은 그 구역의 주장뿐이다.

상용 정리

자주 쓰이는 정리를 묶은 것이다. 함단에서는 이 정리들을 이름으로 인용하여 한 단계로 쓴다. 법의 정리로 도출한 법은 보조법으로 둘 수 있다.

결합의 정리

다음의 두 주장은 서로를 딛는다.

• 교환: $A\wedge B$와 $B\wedge A$, $A\vee B$와 $B\vee A$
• 결합: $(A\wedge B)\wedge C$와 $A\wedge (B\wedge C)$, $(A\vee B)\vee C$와 $A\vee (B\vee C)$
• 멱등: $A\wedge A$와 $A$, $A\vee A$와 $A$
• 흡수: $A\vee (A\wedge B)$와 $A$, $A\wedge (A\vee B)$와 $A$
• 분배: $A\wedge (B\vee C)$와 $(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$, $A\vee (B\wedge C)$와 $(A\vee B)\wedge (A\vee C)$
• 부정의 분배(드 모르간의 법칙): $\mathrm{\neg }(A\wedge B)$와 $\mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B$, $\mathrm{\neg }(A\vee B)$와 $\mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$
• 이중 부정: $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A$와 $A$

치환 정리(置換定理): 서로를 딛는 두 주장은 어떤 주장 안에서도 서로 바꾸어 쓸 수 있다. 대우 정리에 따라 서로를 딛는 두 주장은 모든 경우에 값이 같기 때문이다. 저단에 일방 법이 있으면 대우 정리가 성립하지 않으므로, 그 저단 아래에서 서로를 딛는 두 주장은 부정의 안에서는 바꾸어 쓸 수 없다.

법의 정리

저단에 앞의 법이 있으면 뒤의 법이 도출된다.

• 이음(가언 삼단논법): $A\Rightarrow B$와 $B\Rightarrow C$에서 $A\Rightarrow C$
• 대우(후건 부정): $A\Rightarrow B$에서 $\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$
• 전건의 추가: $A\Rightarrow C$에서 $A,B\Rightarrow C$
• 후건의 약화: $A\Rightarrow B$에서 $A\Rightarrow B\vee C$
• 후건의 결합: $A\Rightarrow B$와 $A\Rightarrow C$에서 $A\Rightarrow B\wedge C$
• 경우 나누기: $A\Rightarrow C$와 $B\Rightarrow C$에서 $A\vee B\Rightarrow C$
• 양도 논법: $A\Rightarrow C$와 $B\Rightarrow D$에서 $A\vee B\Rightarrow C\vee D$
• 전건의 묶음: $A,B\Rightarrow C$와 $A\wedge B\Rightarrow C$는 서로 도출된다.

일방 법에 대해서도 대우를 제외한 나머지가 그대로 성립한다.

양화의 정리

법 $P(x)\Rightarrow Q(x)$ 아래에서 다음이 성립한다.

• 전칭의 이동: $\mathrm{\forall }xP(x){\models }_{\Delta }\mathrm{\forall }xQ(x)$
• 존재의 이동: $\mathrm{\exists }xP(x){\models }_{\Delta }\mathrm{\exists }xQ(x)$

정언 삼단논법의 네 꼴은 다음과 같다.

• ‘모든 P는 Q이다. 모든 Q는 R이다. 그러므로 모든 P는 R이다.’: $P(x)\Rightarrow Q(x)$와 $Q(x)\Rightarrow R(x)$에서 $P(x)\Rightarrow R(x)$. 이음과 같다.
• ‘모든 P는 Q이다. 어떤 Q도 R이 아니다. 그러므로 어떤 P도 R이 아니다.’: $P(x)\Rightarrow Q(x)$와 $Q(x)\Rightarrow \mathrm{\neg }R(x)$에서 $P(x)\Rightarrow \mathrm{\neg }R(x)$
• ‘어떤 P는 Q이다. 모든 Q는 R이다. 그러므로 어떤 P는 R이다.’: 법 $Q(x)\Rightarrow R(x)$ 아래에서 $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge Q(x)){\models }_{\Delta }\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge R(x))$
• ‘어떤 P는 Q이다. 어떤 Q도 R이 아니다. 그러므로 어떤 P는 R이 아니다.’: 법 $Q(x)\Rightarrow \mathrm{\neg }R(x)$ 아래에서 $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge Q(x)){\models }_{\Delta }\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge \mathrm{\neg }R(x))$

양화 기호 자체에 관한 정리는 양화의 딛음에 적은 것과 같다.

같음의 정리

같음의 법 아래에서 다음이 성립한다.

• $E(a,b){\models }_{\Delta }E(a,a)$, $E(a,b){\models }_{\Delta }E(b,b)$
• $E(a,b),E(a,c){\models }_{\Delta }E(b,c)$
• $E(a,b),P(a){\models }_{\Delta }P(b)$, $E(a,b),\mathrm{\neg }P(a){\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }P(b)$
• 치환: 어떤 주장 $A$에 대해서도 $E(a,b),A(a){\models }_{\Delta }A(b)$

확정된 주장의 정리

확정된 원자 주장으로 이루어진 주장에 대해서는 일치 정리에 따라 고전 논리의 정리가 모두 성립한다. 아래에서 $A$와 $B$는 그러한 주장이고, 확정 주장은 근거에 있는 것으로 한다.

• 배중: $A\vee \mathrm{\neg }A$
• 선언 삼단논법: $A\vee C,\mathrm{\neg }A\models C$. $C$는 확정되지 않은 주장이어도 된다.
• 귀류법: $A{\models }_{\Delta }B$이고 $A{\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }B$이면 $\mathrm{\neg }A$
• 조건의 주장화: 양방향 법 $A\Rightarrow B$가 있으면 $\mathrm{\neg }A\vee B$

증명의 예

정리 셋의 증명을 약식으로 적는다.

정언 삼단논법의 셋째 꼴, ‘어떤 P는 Q이다. 모든 Q는 R이다. 그러므로 어떤 P는 R이다.’는 다음과 같이 증명한다.

• 논증: $\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge Q(x)){\models }_{\Delta }\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge R(x))$
• 저단: 1. $Q(x)\Rightarrow R(x)$
• 함단: $[a:P(a)\wedge Q(a)]⟹Q(a)\stackrel{1}{⟹}R(a)⟹P(a)\wedge R(a)⟹\mathrm{\exists }x(P(x)\wedge R(x))$ (∃제)

순서에서 가장 큰 것이 둘일 수 없다는 정리, 곧 최대 원소의 유일성은 다음과 같이 증명한다. $L(x,y)$를 ‘x는 y보다 크지 않다’, $E(x,y)$를 ‘x와 y는 같다’라 하자. 저단에는 반대칭의 법을 둔다.

• 논증: $\mathrm{\forall }xL(x,a),\mathrm{\forall }xL(x,b){\models }_{\Delta }E(a,b)$
• 저단: 1. $L(x,y),L(y,x)\Rightarrow E(x,y)$
• 함단: $L(a,b),L(b,a)\stackrel{1}{⟹}E(a,b)$

고전 논리의 귀류법은 $A$를 가정하여 $B$와 $\mathrm{\neg }B$를 모두 도출하면 $\mathrm{\neg }A$를 결론으로 삼는다. 이 체계에는 조건 증명에 해당하는 규칙이 없으므로 귀류법을 그대로 쓸 수 없다. $B$가 지지도 반박도 되지 않는 경우에는 $A$도 반박되지 않기 때문이다. 귀류법은 $B$에 대한 배중을 근거로 명시한 다음과 같은 논증으로 바뀐다.

• 논증: $B\vee \mathrm{\neg }B{\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }A$
• 저단: 1. $A\Rightarrow B$, 2. $A\Rightarrow \mathrm{\neg }B$
• 함단: $[B]⟹\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }B\stackrel{\overline{2}}{⟹}\mathrm{\neg }A$, $[\mathrm{\neg }B]\stackrel{\overline{1}}{⟹}\mathrm{\neg }A$ (∨제)

일반적으로 $A{\models }_{\Delta }B$이고 $A{\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }B$이면 $B\vee \mathrm{\neg }B{\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }A$이다. 저단의 법이 모두 양방향 법일 때 대우 정리에 따라 성립한다. $A$와 $B$가 확정된 주장이면 배중을 따로 근거로 두지 않고 귀류법을 그대로 쓴다.

고전 논리와의 비교

고전 논리의 규칙은 이 체계에서 다음 세 가지로 나뉜다.

• 그대로 성립하는 것: 전건 긍정, 후건 부정, 가언 삼단논법, 정언 삼단논법, 이중 부정, 부정의 분배(드 모르간의 법칙), 분배 법칙, 양화의 규칙. 다만 조건은 주장이 아니라 저단의 법으로 적는다.
• 저단이나 적단에 명시하여야 성립하는 것: 선언 삼단논법과 귀류법은 해당 주장을 확정하여야 한다. ‘a는 a와 같다’는 같음의 법과 $E(a,b)$와 같은 근거가 있어야 한다.
• 성립하지 않는 것: 근거 없는 배중과, 상충하는 근거에서 임의의 주장을 도출하는 폭발. 조건을 주장의 결합으로 두는 것도 허용되지 않는다(중법 문제 참조).

오류

• 부론(浮論): 근거 없는 주장. 저단을 명시하지 않았거나, 입언이 아닌 주장을 근거로 삼은 논증이다.
• 환적(環蹟): 순환 논증. $A$의 논증이 $B$를 근거로 삼고, $B$의 논증이 다시 $A$를 근거로 삼는 것이다.
• 용적(冗蹟): 불필요한 전제. 무관한 근거나 법을 포함하여 관련의 요건을 어긴 것이다.
• 고저(枯底, latcuónocuini): 성급한 일반화. 성립의 요건을 어긴 것 가운데, 몇몇 사례를 근거로 법을 세우거나 전체에 대하여 주장하는 것이다.
• 과적(過蹟): 과도한 의존. 견고도가 1인데 필수인 기본 주장이 지나치게 많은 논증이다(고적 문제 참조).

논박

논증 $⟨\Gamma ,\Delta ,A⟩$를 논박하는 방법은 세 가지이다.

• 발적(拔蹟): 전제의 부정. 적단을 겨냥한다. $\Gamma$의 어떤 근거 $B$에 대하여 바탕에서 $\mathrm{\neg }B$의 논증을 제시한다. $\mathrm{\neg }B$의 논증이 상충하지 않는 근거와 법을 딛고 있으면 $B$는 입언이 되지 못한다. $B$의 근거와 $\mathrm{\neg }B$의 근거가 함께 상충에 속하기 때문이다.
• 지극(指隙): 반례의 제시. 함단을 겨냥한다. $\Delta$를 준수하면서 $\Gamma$가 모두 지지되고 $A$가 지지되지 않는 경우를 제시한다. 성립의 요건이 무너진다.
• 굴저(掘底): 전제의 추궁. 저단을 겨냥한다. $\Delta$의 법이나 바탕의 기본 주장에 대하여 도출을 요구한다.

결론을 직접 겨냥하여 $\mathrm{\neg }A$의 논증을 제시하는 것은 반박(býcneri)이라 하여 논박과 구별한다.

굴저를 받은 쪽은 더 깊은 저단을 제시하여 그 법이 도출됨을 보이거나, 그 법을 바탕에서 제외한다. 도출을 보이면 교체 정리에 따라 논증은 유지된다.

굴저에는 선저(先底)의 원칙이 적용된다. 굴저하는 자는 자신이 받아들이는 저단을 먼저 명시하여야 한다. 곧 묻는 쪽도 자신의 입장을 표명해야 한다. 어떤 저단도 받아들이지 않은 채 근거만을 거듭 묻는 것은 부론으로 본다.

난제

체계 안에서 제기된 다섯 문제와 그 해결이다. 각 문제는 형식으로 적은 뒤 정리로 답한다.

쌍주 문제

쌍주(雙柱) 문제는 한 주장에 각기 단독으로 충분한 근거가 둘 있는 경우, 곧 근거의 중복을 다룬다. 근거가 $p,q$이고 저단이 $p\Rightarrow r$, $q\Rightarrow r$인 논증에서, $p$를 철회하여도 $q$를 철회하여도 $r$은 유지된다. 그렇다면 $r$은 $p$를 딛는가, 딛지 않는가.

이 문제는 지주로 해결한다. 이 논증의 지주는 $p$와 $p\Rightarrow r$의 묶음, $q$와 $q\Rightarrow r$의 묶음의 둘이다. $p$와 $q$는 필수가 아니라 분담이며, 견고도는 2이다. 하나를 철회하여도 결론이 유지되는 것은 그것이 무관하기 때문이 아니라 분담이기 때문이다. 따라서 $r$은 $p$와 $q$를 모두 딛으며, 다만 어느 쪽도 필수로 딛지는 않는다.

두 근거가 얽혀 있어 논증을 둘로 나눌 수 없는 경우도 같은 방법으로 다룬다. 근거가 $p,q,t$이고 저단이 $p,t\Rightarrow r$와 $q,t\Rightarrow r$이면, 지주는 둘이고 $t$는 두 지주에 모두 속한다. 곧 $t$는 필수, $p$와 $q$는 분담이다.

법례 문제

법례(法例) 문제는 일반 주장과 개별 주장, 곧 법칙과 사례(námeli) 가운데 어느 쪽이 어느 쪽을 딛는지를 묻는다. 일반 주장에서 사례가 도출되는 것은 전칭 제거와 법의 적용으로 분명하다. 문제는 사례에서 일반 주장이 도출되는가이다.

열거 정리(列擧定理): 대상의 목록 $a_1,\dots ,a_n$이 저단에 명시되어 있으면 $A(a_1),\dots ,A(a_n){\models }_{\Delta }\mathrm{\forall }xA(x)$이다. 수의 한정 아래에서는 귀납이 같은 구실을 한다.

비도출 정리(非導出定理): 대상의 목록이 명시되어 있지 않으면, 사례 $P(a_1),\dots ,P(a_n)$을 아무리 모아도 $\mathrm{\forall }xP(x)$는 도출되지 않는다. 사례에 등장하지 않는 대상에서 $P$가 공인 경우가 반례이다.

법은 주장이 아니므로 사례에서 도출되지 않는다. 다만 두 술어가 확정되어 있고 대상이 열거되어 있으면, 법 $P(x)\Rightarrow Q(x)$를 준수한다는 것이 주장 $\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }P(x)\vee Q(x))$가 지지된다는 것과 같고, 이 주장은 열거 정리에 따라 사례 전부에서 도출된다.

따라서 사례에서 일반으로 가는 일은 둘로 나뉜다. 대상이 열거되어 있으면 딛음이다. 열거되어 있지 않으면 딛음이 아니라 법을 바탕에 받아들이는 일이며, 이는 논증이 아니므로 환적이 아니다. 받아들인 법을 사례에서 도출한 것으로 적으면 고저가 된다.

무교 문제

무교(無橋) 문제는 부정 주장의 근거, 곧 없다는 것을 어떻게 입증하는지를 묻는다. 명칭은 ‘여기에 다리가 없다’라는 예문에서 왔다. $\mathrm{\neg }A$가 지지된다는 것은 $A$가 반박된다는 것이므로, ‘다리가 없다’를 입증하려면 ‘다리가 있다’에 대한 반박이 있어야 한다. ‘다리가 있다’가 입언이 아니라는 것만으로는 부족하다. 그것은 ‘다리가 있다’가 부언이라는 판정일 뿐이다.

무교 정리(無橋定理): 근거와 법에 부정이 한 번도 나오지 않으면, 부정이 없는 주장 $A$에 대하여 $\mathrm{\neg }A$는 도출되지 않는다. 모든 원자 주장이 입인 경우가 반례이다.

따라서 부정 주장의 근거에는 반드시 부정이 들어 있다. 부정이 들어오는 길은 둘이다.

• 배타의 법: $B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$와 같이 후건에 부정이 있는 법이다. ‘여기에는 물이 흐른다’가 입언이고 ‘물이 흐른다 ⇒ ¬다리가 있다’가 법이면 다리가 없다는 주장이 입언이 된다.
• 다름의 주장: $\mathrm{\neg }E(a,b)$와 같이 두 대상이 같지 않다는 주장이다.

‘여기에 있는 것은 이것이 전부이다’는 다름의 주장과 함께 쓰일 때에만 부정을 낳는다. $H(x)$를 ‘x는 여기에 있다’라 하고, 여기에 있는 것이 $a$와 $b$뿐이라는 것을 법으로 적으면 다음과 같다. $c$는 다리이다.

• 논증: $\mathrm{\neg }E(c,a),\mathrm{\neg }E(c,b){\models }_{\Delta }\mathrm{\neg }H(c)$
• 저단: 1. $H(x)\Rightarrow E(x,a)\vee E(x,b)$
• 함단: $\mathrm{\neg }E(c,a),\mathrm{\neg }E(c,b)⟹\mathrm{\neg }(E(c,a)\vee E(c,b))\stackrel{\overline{1}}{⟹}\mathrm{\neg }H(c)$

‘전부이다’라는 법에는 부정이 없다. 부정은 근거인 다름의 주장에서 들어온다. 그러므로 없다는 주장의 근거는 배타의 법이나 다름의 주장으로 돌아가며, ‘전부이다’가 이미 부정 주장을 포함한다는 비판은 ‘전부이다’가 아니라 그것과 함께 쓰이는 다름의 주장에 해당한다.

고적 문제

고적(高積) 문제는 각기 성립하는 논증을 여러 번 연결하여 도출한 주장이 처음의 근거를 온전히 딛고 있는지를 묻는다. 긴 추론의 신뢰도에 관한 문제이다. 전적파(全蹟派)는 이행 정리를 들어, 딛음은 몇 번을 연결하여도 유지된다고 본다. 감적파(減蹟派)는 논증이 길수록 쓰이는 기본 주장이 많아지고, 그 가운데 하나라도 상충에 속하면 결론이 쟁언이 된다고 본다.

두 파의 주장은 서로 모순되지 않는다. 전적파는 딛음에 대하여, 감적파는 판정에 대하여 말한다. 감적파의 주장은 지주로 다음과 같이 적는다. 바탕에서 주장 $A$의 지주는 $A$를 딛기에 충분하면서 남는 것이 없는 기본 주장과 법의 묶음이다.

입언 정리(立言定理): $A$가 입언이라는 것은 모든 극대 바탕 안에 $A$의 지주가 적어도 하나씩 있다는 것과 같다.

이로부터 다음이 나온다.

• 지주가 하나뿐이고 그에 속한 기본 주장과 법이 $m$개인 입언은, 그 $m$개 가운데 하나만 상충에 속하여도 입언이 아니게 된다.
• 지주가 여럿인 입언이 입언이 아니게 되려면 모든 지주가 상충에 걸려야 한다. 견고도가 $k$이면 적어도 $k$개의 기본 주장이나 법이 상충에 속하여야 한다.

따라서 논증의 신뢰도를 재는 것은 연결한 횟수가 아니라 견고도와 필수인 기본 주장의 수이다. 길게 연결한 논증이라도 지주를 더하여 견고도를 높이면 과적이 아니다.

중법 문제

중법(重法) 문제는 법 안에 법을 둘 수 있는지, 곧 조건을 주장의 결합으로 둘 수 있는지를 묻는다. ‘어떤 대상이 있어 모든 P가 그것과 R의 관계에 있다’는 하나의 주장으로 적지 못한다.

중법 불가 정리(重法不可定理): 조건을 주장의 결합 $A\to B$로 두고 조건 증명, 곧 ‘$\Gamma ,A\models B$이면 $\Gamma \models A\to B$이다’를 허용하면, 어떤 $\Gamma$에 대해서도 $\Gamma \models A\to A$가 된다. 이는 공유 정리에 어긋나고, $\Gamma$가 비어 있으면 무자립 정리에 어긋난다.

따라서 조건 증명을 갖춘 조건은 주장의 결합으로 둘 수 없다. 조건 증명을 버린 결합은 둘 수 있으나, 그것으로는 조건을 결론으로 삼는 논증을 세우지 못한다. 이 체계는 조건을 법으로 두고 다음 방법을 쓴다.

• 조건을 결론으로 삼을 때에는 조건 논증으로 한다.
• ‘A이면, B이면 C이다’는 법 $A,B\Rightarrow C$로 적는다.
• ‘어떤 대상이 있어 모든 P가 그것과 R의 관계에 있다’는 그 대상을 가리키는 대상 표현 $t$를 제시하고, 법 $P(x)\Rightarrow R(x,t)$를 결론으로 하는 조건 논증으로 증명한다. 이 결과를 받아 쓰는 논증은 새 이름 $a$에 대하여 법 $P(x)\Rightarrow R(x,a)$를 저단에 두고, 조건 논증의 근거를 적단에 함께 둔다.

법을 전건으로 삼는 ‘A이면 B라는 것이 성립하면 C이다’는 적을 수 없다. 법을 주장으로 삼는 꼴의 커리의 역설도 같은 까닭으로 적을 수 없다.

인용과 판정의 층

인용

주장 $A$를 가리키는 이름을 인용 이름이라 하고 ‘$A$’로 적는다. 인용 이름은 대상의 이름과 같이 술어의 항에 쓸 수 있다. 술어 $T$를 입표 술어(立標述語)라 하고, $T$(‘$A$’)를 ‘$A$에 입표가 있다’로 읽는다. 인용하는 주장마다 다음 두 법을 고정법으로 둔다.

• $A\Rightarrow T$(‘$A$’)
• $T$(‘$A$’) $\Rightarrow A$

둘은 양방향 법이므로, 이를 준수하는 경우에서 $T$(‘$A$’)의 값은 $A$의 값과 같다. 인용 이름은 그 이름이 나오는 주장에도 줄 수 있다. 이것이 자기 지시이다. 확정 주장은 인용하지 않는다.

고정점 정리(固定點定理): 인용 이름을 어떻게 주더라도 입표 술어의 법을 준수하는 경우가 있다. 입표 술어가 붙은 주장을 처음에 모두 공으로 두고, 두 법이 요구하는 표를 거듭 더한다. 표는 더해지기만 하므로 더할 것이 없는 데에서 멈춘다.

판정의 층

입표 술어는 경우의 값을 말할 뿐 판정을 말하지 않는다. 판정을 말하는 주장에는 층을 둔다.

• 0층의 주장에는 상태를 말하는 것이 없다.
• $n+1$층에서는 $n$층까지의 주장 $A$에 대하여 ‘$A$는 입언이다’, ‘$A$는 함언이다’, ‘$A$는 쟁언이다’, ‘$A$는 부언이다’를 원자 주장으로 쓸 수 있다.
• 이 원자 주장의 값은 $n$층까지의 판정에 따라 입이나 함으로 정해지며, $n+1$층의 바탕에서 다투지 않는 것으로 둔다.

판정은 0층부터 차례로 한다. 자신이 속한 층의 판정을 말하는 주장은 적을 수 없다.

층 정리(層定理): ‘이 주장은 입언이 아니다’를 층 없이 허용하면 그 주장에 상태를 줄 수 없다. 이 주장이 입언이라고 하면 ‘이 주장은 입언이다’의 값이 입이 되어 이 주장의 반박이 바탕에 놓이므로, 입언일 수 없다. 입언이 아니라고 하면 그 값이 함이 되어 이 주장이 바탕에서 지지되므로, 입언이 된다.

역설

고전 논리에서 모순을 일으키는 문장을 이 체계로 옮기면 어떻게 되는지를 다룬다. 자기 지시는 인용 이름으로 적는다.

거짓말쟁이의 역설

‘이 주장은 거짓이다’는 인용 이름 $\lambda$를 주장 $\mathrm{\neg }T(\lambda )$에 주어 적는다. 입표 술어의 법에 따라 $T(\lambda )$의 값은 $\mathrm{\neg }T(\lambda )$의 값과 같아야 하므로, 그 값은 부정하여도 바뀌지 않는 쌍이나 공이다. 이는 원자 주장 $\lambda$에 두 법 $\lambda \Rightarrow \mathrm{\neg }\lambda$, $\mathrm{\neg }\lambda \Rightarrow \lambda$를 둔 것과 같다. 고전 논리에는 입과 함밖에 없으므로 모순이 되지만, 이 체계에서는 두 경우가 남으며 $\lambda$로부터 다른 주장이 도출되지 않는다.

판정에서 $\lambda$는 언제나 부언이다. $\lambda$가 기본 주장이 아니면 논증도 반박도 없다. $\lambda$를 기본 주장으로 두면 그것 하나가 상충이 되어 어느 극대 바탕에도 속하지 못한다. 국소 정리에 따라 다른 구역의 주장은 영향을 받지 않는다.

참말쟁이

‘이 주장은 참이다’는 인용 이름 $\tau$를 주장 $T(\tau )$에 주어 적는다. 입표 술어의 법은 어떤 값에서도 준수되므로 $\tau$의 값을 정하지 못한다. $\tau$는 자신만을 근거로 삼는 환적이며, 다른 근거가 없는 한 부언이다.

러셀의 역설

‘자신에게 속하지 않는 것을 모두 모은 것’을 $r$이라 하고, $I(x,y)$를 ‘x는 y에 속한다’라 하자. $r$의 뜻은 두 법 $\mathrm{\neg }I(x,x)\Rightarrow I(x,r)$와 $I(x,r)\Rightarrow \mathrm{\neg }I(x,x)$로 적는다. 변수에 $r$을 대입하면 $\mathrm{\neg }I(r,r)\Rightarrow I(r,r)$와 $I(r,r)\Rightarrow \mathrm{\neg }I(r,r)$가 되어 거짓말쟁이의 역설과 같은 꼴이 된다. $I(r,r)$의 값은 쌍이거나 공이고, 다른 대상에 대한 주장은 영향을 받지 않는다. 이 두 법은 고정법이 아니므로, $I(r,r)$을 기본 주장으로 두면 그것은 쟁언이 되고 법은 다투어지는 법이 된다.

성질의 양화에서는 성질이 대상에만 적용되므로, 성질로 적은 러셀의 문장은 적을 수 없다.

커리의 역설

‘이 주장이 옳으면 B이다’는 조건을 주장으로 삼아야 하므로 그대로는 적을 수 없다. 조건을 $\mathrm{\neg }T(\kappa )\vee B$로 바꾸어, 인용 이름 $\kappa$를 이 주장에 주면 적을 수 있다. 이때 $\kappa$를 기본 주장으로 두어도 $B$는 도출되지 않고 부언에 머문다. $\kappa$가 쌍이고 $B$가 함인 경우가 반례이다.

확정과 역설

• 거짓말쟁이는 확정될 수 없다. $\circ \lambda$를 기본 주장으로 두면 그것 하나가 상충이 되어 어느 극대 바탕에도 속하지 못한다. 다른 기본 주장의 상태는 바뀌지 않는다.
• 커리의 $\kappa$를 확정하면 $B$가 도출되고, 상충은 생기지 않는다. $\kappa$를 확정하는 것이 고전 논리에서 $B$를 받아들이는 것과 같기 때문이다. 판정은 이를 막지 못하므로, $\circ \kappa$를 받아들일 근거가 있는지를 굴저로 물어야 한다.

한계

• 극대 바탕에 의한 판정은 바탕을 적는 방식에 의존하고, 경우 판정은 다투어지는 근거에서 나온 결론을 가려내지 못한다. 두 가지를 함께 갖춘 판정은 알려져 있지 않다.
• 판정에 대하여 말하는 주장은 아래 층의 주장에 대해서만 적을 수 있다. 모든 층의 판정을 한꺼번에 말하는 주장은 적을 수 없다.
• 전체 범위의 성질 양화는 붕괴 정리에 따라 내용이 없다. 범위를 저단에 명시하는 양화는 성질 표현으로 적을 수 있는 성질만을 다룬다.
• 2항 이상의 술어나 함수를 쓰는 논의에서는 딛음과 판정을 정하는 일반적인 절차가 없고, 수의 한정 아래에서는 추론 규칙이 완전하지 않다.
• 확정된 주장 사이에서는 딛음이 고전 논리와 같으므로, 상충하는 근거에서 모든 주장이 도출된다. 판정이 이를 그 주장에 가두지만, 커리의 경우와 같이 상충 없이 원하지 않는 결론이 도출되는 일은 막지 못한다.
• 저단에 일방 법이 있으면 대우 정리와 치환 정리가 그대로 성립하지 않는다.